第一章 基本知识

文章目录
  1. 1. 课前导读
  2. 2. 随机实验
  3. 3. 样本空间、 随机事件
    1. 3.1. 一 样本空间
    2. 3.2. 二 随机事件
    3. 3.3. 事件间的关系和运算
  4. 4. 频率和概率
  5. 5. 等可能概型(古典概型)
  6. 6. 条件概率
  7. 7. 独立性

随机现象:个别实验中其结果呈现不确定性,在大量重复实验中其结果又具有统计规律的现象

课前导读

加法原理:完成一件事,可以有n类办法,$在第一类办法中有m_1种不同的方法,在第二类办法中有m_2种不同的方法\cdots,在第n类办法中有m_n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m_1+m_2+…+m_n种不同方法$.

乘法原理:完成一件事,需要分成n个步骤,$做第一步时有m_1种不同的方法,做第二步时有m_2种不同的方法,\cdots,做第n步有m_n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m_1m_2…m_n种不同的方法$.

组合:从n个不同的元素中任取r(1≤r≤n)个不同元素,不考虑次序将它们并成一组,称之为组合.所有不同的组合种数,记为$\binom{n}{r}$或$C_n^r$

$$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r! (n-r)!} = \frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r!} \text{,不考虑取出的r个元素的顺序}$$

排列:从n个不同的元素中任取r(1≤r≤n)个不同元素,按一定的顺序排成一列,称之为排列.所有不同的排列种数记为$A_n^r$

$$A_n^r=n(n-1)\cdots(n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!} \text{,考虑取出的r个元素的顺序}$$

随机实验

  1. 可以在相同的条件下重复地进行
  2. 每次实验的可能结果不止一个,并且能事先明确实验的所有可能结果
  3. 进行一次实验前不能确定哪一个结果会出现

我们将具有上面三个特点的实验称为随机实验

样本空间、 随机事件

一 样本空间

我们将随机实验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间。记作S 样本空间的每个结果称为样本点

二 随机事件

样本空间的子集就是随机事件

由一个样本点组成的单点集,称为基本事件

每个实验中它总是发生的,S称为必然事件 。空集是不可能事件

事件间的关系和运算

  1. 若$A\subset{B}$ 事件A发生必然导致事件B发生。
  2. $A\cup{B}$ 和事件,当且仅当A、B至少有衣蛾发生时,事件A\cup{B}$ 发生
  3. 事件$A\cap{B}$积事件,当且仅当A、B同时发生时,事件$A\cap{B}$发生。
  4. 差事件,A-B 当且仅当A发生,B不发生时,事件A-B发生。
  5. 若$A\cap{B}=\emptyset$ ,则称事件A与时间B互不相容或互斥。事件A、B不能同时发生。
  6. 若$A\cup{B}=s$ 且$A\cap{B}=\emptyset$则称事件A与时间B互为逆事件。或对立事件

频率和概率

定义: 在相同条件下,进行n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数称为事件A的频数,比值$n_a/n$称为事件A发生的频率。并记作$f_n(A)$

概率的性质:

  1. P($\emptyset$)=0
  2. 有限可加性 ,$若A_1,A_2,… A_n$是两两互不相容的事件,则有P($A_1\cup{A_2}…\cap{A_n}$) = $P(A_1)+P(A_2)+…+P(A_n)$
  3. 设A、B是两个事件,若$A\subset{B}$,则:$$P(B-A)=P(B)-P(A)$$
  4. 对任一事件A P(A)<=1
  5. 逆事件概率,对于任一事件A有$ P(\overline A) $= 1- P(A)
  6. 加法公式: 对任意两事件 A、B 有,$ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(AB)$

等可能概型(古典概型)

若事件A包含k个基本事件 ,则
$$P(A)=\frac {k} {n} = \frac {A包含的基本事件数} {S中基本事件的总数}$$

$$\left ( \frac {N}{n} \right ) = \frac {N(N-1)…(N-n+1)} {n!} \text N
中取n个的总数$$

$$A_N^n = N(N-1)…(N-n+1) \text 也是N中取n个的总数 $$

条件概率

设A,B是两个事件,且P(A) > 0 称

$$ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$
为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率。

乘法定理: $P(AB)=P(B|A)P(A)$

全概率公式: 设实验E的样本空间为S,A为E的事件,$B_1,B_2,…,B_n$为S的一个划分,且$P(B_i)$>0,则
$$P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+…+P(A|B_n)P(B_n)$$
称为全概率公式。

个人理解:A和每个划分的积事件之和。

贝叶斯公式:设实验E的样本空间为S,A为E的事件,$B_1,B_2,…,B_n$为S的一个划分,则
$$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B)}{\sum_{j=1}^{n}{P(A|B_j)P(B_j)}}$$
称为贝叶斯公式

当n=2时,全概率公式和贝叶斯公式分别为:

$$P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|\overline B)P(\overline B)$$

$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B)+P(A|\overline B)P(\overline B)}$$

独立性

定义: 设A,B是两个事件,如果满足等式:
$$P(AB)=P(A)P(B)$$
则称事件AB是相互独立,简称A,B独立

定理1: 设A,B是两个事件,若A,B相互独立,则P(B|A) = P(B),反之亦然。

定理2:如事件A与B相互独立,则下列各事件也相互独立:
$$A \text{与} \overline{B} , \overline A 与B,\overline A与\overline B$$