第二章 随机变量及其分布

文章目录
  1. 1. 随机变量
  2. 2. 离散型随机变量及其分布规律
    1. 2.1. 0-1分布
    2. 2.2. 伯努利实验、二项分布
    3. 2.3. 泊松分布
  3. 3. 随机变量的分布函数
  4. 4. 连续型随机变量及其概率密度
    1. 4.1. 均匀分布
  5. 5. 随机变量的函数分布

第二章学习记录。

随机变量

定义: 设随机实验的样本空间为S={e},X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数,成X=X(e)为随机变量。

离散型随机变量及其分布规律

有些随机变量,它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量。

设离散型随机变量X多有可能的取值为$x_k$(k=1,2,…),X取各个可能值的概率,即事件{X=$x_k$}的概率,为
$$P\{X=x_k\} = p_k,k=1,2,….$$

0-1分布

设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律是:
$$P\{X=k\}=p^k(1-p)^{(1-k)}. k=0,1 (0<p<1)$$
则称X服从以p为参数的0-1分布或两点分布。

伯努利实验、二项分布

设实验E只有两种可能,A 即 $\overline A$,则称E为伯努利实验,此时P(A)= p,$P(\overline A)=1-p$,将E独立重复的进行n次,则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。

以X表示n重伯努利实验中事件A发生的次数,X是一个随机变量,我们求它的分布规律。X所有可能的取值为 0,1,2,…,n 。由于各次实验是相互独立的,因此事件A在指定的k次实验中发生,在其他n-k次实验中A不发生的概率为

$$pppp….pp(1-p)(1-p)….(1-p)=p^k(1-p)^{n-k}$$

这种指定的方式共有$\binom {n}{k}$种,他们是两两互不相容的,故在n次实验中A发生k次的概率为$\binom {n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$,记q = 1-p,即有:

$$P\{X=k\}=\binom{n}{k}p^kq^{n-k},k=0,1,2,…,n\tag{2.6}$$

显然:

$$\sum_{k=0}^{n}P\{X=k\}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}p^kq^{n-k}=(p+q)^n=1$$

注意到$\binom{n}{k}p^kq^{n-k}$刚好是二项式$(p+q)^n$的展开式中出现$p^k$的那一项,我们称随机变量X服从参数n,p的二项分布,并记为$X\sim b(n,p)$

特别的,当n=1时,二项分布化为:

$$P\{X=k\}=p^kq^{1-k},k=0,1$$

就是0-1分布。

泊松分布

设随机变量X所有可能的取值为0,1,2…,取而代之的概率为:
$$P\{X=k\}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2….$$
其中$\lambda$>0是常数,则称X服从参数为$\lambda$的泊松分布,记为X$\sim\pi(\lambda)$

泊松定理:设$\lambda$>0是一个常数,n是任意正整数,设$np_n=\lambda$,则对于人一个固定的非负整数k,有:

$$\lim_{n\to \infty}\binom{n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$$

随机变量的分布函数

分布函数:设X是一个随机变量,x是任意实数,函数:

$$F(x)=P{X<=x}$$
称为X的分布函数。

如果将X看成是数轴上的随机点左边,那么,分布函数F(x)在x出的函数值就表示X落在区间$(-\infty,x)$上的概率。

分布函数F(x)满足的基本性质:

  1. 不减函数
  2. 0-1

连续型随机变量及其概率密度

如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数f(x),对于任意实数x有

$$F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt\tag{4.1}$$
则称x为连续型随机变量,其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度

三种重要的连续型随机变量

均匀分布

  1. 指数分布
  2. 正态分布

随机变量的函数分布