第五章 相似矩阵

文章目录
  1. 1. 向量的內积和正交性
    1. 1.1. 向量的內积
    2. 1.2. 向量的长度
    3. 1.3. 向量的夹角与正交向量组
    4. 1.4. 正交矩阵与正交变换
  2. 2. 方阵的特征值与特征向量
    1. 2.1. 特征值和特征向量的概念
    2. 2.2. 方阵的特征值和特征向量的性质
  3. 3. 相似矩阵
    1. 3.1. 相似矩阵的定义
    2. 3.2. 矩阵的对角化
    3. 3.3. 实对称矩阵的对角化

矩阵的特征值与特征向量是线性代数中十分重要的内容,是矩阵和向量理论深层次上的发展.本章主要讨论矩阵的特征值与特征向量的概念、性质与计算及矩阵的相似对角化问题,特别是对称矩阵的正交相似对角化问题.

向量的內积和正交性

向量的內积

$$[x,y]=x_1y_2+x_2y_2+…+x_ny_n.$$

内积的运算规律(其中x,y,z为n维向量,λ为实数):

  1. [x,y]=[y,x];
  2. [λx,y]=λ[x,y];
  3. [x+y,z]=[x,z]+[y,z];
  4. [x,x]≥0,当且仅当x=0时,[x,x]=0;
  5. 柯西一施瓦茨(CauchySchwarz)不等式:$[x,y]^2≤[x,x][y,y]$,当且仅当x与y线性相关时等号成立.

向量的长度

定义2 设x是n维向量,称$\sqrt{[x,x]}$为向量x的长度(或范数),记作‖x‖.即若x=(x1,x2,…,xn)T,则有
$$||x||=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_n^2}$$

向量的长度具有以下性质

  1. 非负性 ‖x‖≥0,当且仅当x=0时等号成立;
  2. 齐次性 ‖λx‖=|λ|‖x‖,λ为任意实数;
  3. 三角不等式 ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖.

若‖x‖=1,则称x为单位向量.

设a为任意非零向量,则向量$\frac{1}{||a||}a$为单位向量,

对于一个非零向量,用a的长度‖a‖去除a,即得到一个单位向量,这个过程称为将a单位化.

向量的夹角与正交向量组

定义3 设向量x与y均是n维非零向量,称

$$\theta=arccos\frac{[x,y]}{||x|| ||y||}$$
为向量x与y的夹角.当[x,y]=0时,称向量x与y正交.显然,零向量与任何向量都正交.两两正交的非零向量组,称为正交向量组.

定理1 若向量组$a_1,a_2,…,a_m$是正交向量组,则$a_1,a_2,…,a_m$线性无关.

定义4 设n维向量组$e_1,e_2,…,e_r$是向量空间V的一个基,若$e_1,e_2,…,e_r$两两正交,且都是单位向量,则称$e_1,e_2,…,e_r$是V的一个规范正交基

规范正交化的步骤 :

规范正交化的步骤

正交矩阵与正交变换

正交矩阵的定义

性质:

正交矩阵的定义

方阵的特征值与特征向量

特征值和特征向量的概念

定义7 设A为n阶方阵,若存在数λ和非零n维列向量x,使得$$Ax=λx(5.1)成立,$$则称数λ为方阵A的特征值,非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量.式(5.1)也可写成$$(A-λE)x=0,(5.2)$$这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组

求n阶方阵A的特征值和特征向量的步骤:

  1. 第一步:求出A的特征多项式|A-λE|;
  2. 第二步:求解特征方程|A-λE|=0,得到A的n个特征值λ1,λ2,…λn;
  3. 第三步:对于A的每一个特征值λi,求出齐次线性方程组(A-λiE)x=0的一个基础解系ξ1,ξ2,…ξs,则A的对应于特征值λi的全部特征向量为pi=c1ξ1+c2ξ2+…+csξs,其中,c1,c2,…,cs为不全为零的任意实数.

方阵的特征值和特征向量的性质

性质1 一个特征向量只能属于一个特征值(相同的看成一个)

性质2 若λ是方阵A的特征值,x是属于λ的特征向量,则

  1. μλ是μA的特征值,x是属于μλ的特征向量(μ是常数):
  2. λk是Ak的特征值,x是属于λk的特征向量(k是正整数);
  3. 当|A|≠0时λ1是A1的特征值,λ1|A|为$A*$的特征值,且x为对应的特征向量.
  4. φ(λ)是φ(A)的特征值(其中φ(λ)$=a_0+a_1λ+…+a_mλ^m$是λ的多项式,φ(A)=$a_0E+a_1A+…+a_mA^m$是方阵A的多项式)

性质3 A与AT有相同的特征值

性质5 设λ1,λ2,…,λm是方阵A的m个特征值,p1,p2,…,pm是依次与之对应的特征向量.若λ1,λ2,…,λm互不相等,则p1,p2,…,pm线性无关.

相似矩阵

相似矩阵的定义

定义8 设A,B都是n阶方阵,若存在一个n阶可逆矩阵P,使$$P^1AP=B$$

则称A与B是相似的,或称B是A的相似矩阵.称$P^1AP$为对A作相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵

性质1 若A与B相似,则R(A)=R(B),且|A|=|B|.

性质2 若A可逆,且A与B相似,则B可逆,且A1与B1也相似.

性质3 若A与B相似,则$A^k$与$B^k$(k为整数)相似.

定理3 若n阶方阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值也相同.

推论 若n阶方阵A与对角矩阵相似,则λ1,λ2,…,λn是A的n个特征值.

矩阵的对角化

定理4 n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.

推论 若n阶方阵A有n个互不相同的特征值,则A与对角矩阵相似.

定理5 若对于n阶方阵A的任一k重特征值λ,有R(A-λE)=n-k,则A可对角化.

实对称矩阵的对角化

定理7 实对称矩阵不同特征值对象特征向量正交

定理8 A为n阶实对称矩阵,则必存在正交矩阵P,使得$$P^1AP=P^TAP=A$$,其中A是以A的n个特征值未对角线元素的对角矩阵

推论: 设A为n阶实对称矩阵,λ是A的k重特征值,则 R(A-λE)= n-k,从而对应特征值λ恰好有k个线性无关的特征向量