第一章行列式

文章目录
  1. 1. 1、二三阶行列式
    1. 1.1. n阶行列式
  2. 2. 2、行列式的性质
  3. 3. 3、 行列式按行(列)展开
  4. 4. 4、 克莱姆法则(Carmer)

第一章,行列式学习记录

1、二三阶行列式

定理1 : 一个排列进行一次对换,排列改变奇偶性一次

n阶行列式

在三阶行列式中,行标固定为123,列表为123的全排列,有6中情况。所以,三阶行列式的定义如下: $$ \sum (-1)^t a_{1p_1} a_{2p_2} a_{3p_3}$$

定理2: n阶行列式也可以定义为:

$$ D = \sum (-1)^τ a_{p_11} a_{p_22} … a_{p_nn} \text ,其中τ为行排列p_1p_2…p_n 的逆序数$$

定理3 : n阶行列式也可以定义为:

$$ D = \sum (-1)^{τ_1+τ_2} a_{p_1q_1} a_{p_2q_2} … a_{p_nq_n} \text ,其中τ_1为行排列p_1p_2…p_n 的逆序数, τ_2为列排列的逆序数$$

2、行列式的性质

性质1: 行列式和它的转置行列式相等,即$$D = D^T$$

性质2: 互换行列式的两行,行列式变号

推论: 若行列式有两行完全相同,则该行列式等于0

性质3: 行列式的某一行的各元素乘以同一数k,等于用数乘此行列式。

性质4: 若行列式中有两行的元素对应成比例,则该行列式等于0

性质5:若行列式的某一行的元素都是两数之和, 等于两个行列式的和

性质6: 把行列式的某一行的各元素乘以同一个数k后,加到另一行对应的元素上去,行列式的值不变。

把行列式化为上三角行列式的步骤为:

  1. 若第一列第一个元素为0,先将第一行与其他行交换,使得第一列第一个元素不为0,然后把第一行分别乘以适当的数加到其他各行,使得第一列除第一个元素外,其余元素全为0;
  2. 用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶的行列式,如此反复下去,直到使它变为上三角行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.

3、 行列式按行(列)展开

定义2 在n阶行列式中,把元素$a_{ij}$所在的第i行和第j列划去,余下的n-1阶行列式(依原来的排法),称为元素$a_{ij}$的余子式,记作$M_{ij}$ ;记$$A_{ij}= (-1)^{i+j}M_{ij},$$称$A_{ij}$为元素$a_{ij}$的代数余子式.

引理 一个n阶行列式D,若第i行所有元素除$a_{ij}$为全为零,则该行列式等于$a_{ij}$与它的代数余子式的乘积,即$$D=a_{ij}A_{ij}$$

定理4 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和,即
$$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+…+a_{in}A_{in}(i=1,2,…,n),$$

$$D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+…+a_{nj}A_{nj}(j=1,2,…,n).$$

下面是范德蒙行列式:
$$
D_n =
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\
x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}
=\prod_{n\ge{i}\gt{j}\ge{i}}{(x_i - x_j)}
$$

下面这个公式不明白,但是后面会使用

$$ \sum_{k=1}^n{a_{ik}A_{jk}} = D\delta_{ij} =
\begin{cases}
D, &当 i=j \\
0, & 当 i \ne j
\end{cases} $$

其中

$$
\delta_{ij} =
\begin{cases}
1, &当 i=j \\
0, & 当 i \ne j
\end{cases}
$$

4、 克莱姆法则(Carmer)

定理5 : 线性方程组的系数行列式不为0.则线性方程组有解。

$$ x_1 = \frac{D_1}{D} , x_2 = \frac{D_2}{D}…. $$
其中,$D_j$(j=1,2,…,n)是将D中的第j列元素换成方程组右端的常数项所得的行列式.

使用克莱姆法则必须注意:

  1. 未知量的个数与方程的个数要相等;
  2. 系数行列式不为零.

常数项全为0的方程称为齐次线性方程。

$$
\left \{
\begin{array}{c}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = 0 \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = 0 \\
………………………….. \\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{nn}x_{n} = 0
\end{array}
\right.
$$

定理6 如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0,则齐次线性方程组只有零解.

定理6′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.

定理6′ 说明系数行列式D=0是齐次线性方程组有非零解的必要条件.