第二章矩阵

文章目录
  1. 1. 矩阵
  2. 2. 矩阵运算
    1. 2.1. 矩阵乘法
    2. 2.2. 矩阵转置
    3. 2.3. 方阵的行列式
  3. 3. 逆矩阵
  4. 4. 矩阵的分块

矩阵学习记录

矩阵

定义: 矩阵可以记作:$A=(a_{ij})_{m×s}$,也可以记作 $A_{m×n}$

  1. 只有一行元素,这样的矩阵称为行矩阵,A=$(a_1,a_2,…,a_n)$.
  2. 若矩阵只有一列元素,这样的矩阵称为列矩阵
  3. 若n阶方阵,主对角线以外的元素全为0,这样的矩阵称为对角阵,A=$diag(λ_1,λ_2,…,λ_n)$
  4. 对角元素相同的对角阵,称为数量阵
  5. 数量阵的元素为1,单位阵

定义2 若两个矩阵的行数与列数分别相等,则称它们为同型矩阵.

矩阵运算

矩阵加法的运算规律:

  1. A+B = B + A 交换律
  2. (A+B) + C = A + (B + C) 结合律

数与矩阵的乘法:

定义4 数λ与矩阵A的乘积记作λA.

数与矩阵相乘的运算规律:

  1. (λμ)A = λ(μA)
  2. (λ+μ)A = λA+μA
  3. λ(A+B) = λA + λB

矩阵乘法

定义5 设矩阵$A=(a_{ij})_{m×s},B=(b_{ij})_{s×n},$则规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵$C= (c_{ij})_{m×n}$,其中
$c_{ij} = \sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}$.

  1. 对于两个n阶方阵A、B ,若AB = BA, 则A与B是可交换的
  2. 特别注意:若两个矩阵A,B满足AB=O,不能推出A=O或B=O的结论;若AB=AC,A≠O,也不能推出B=C的结论.

矩阵乘法的运算规律:

  1. (AB)C=A(BC);
  2. A(B+C)=AB+AC,(B+C)A= BA+CA;
  3. λ(AB)=(λA)B=A(λB).

对于单位矩阵E,容易验证$E_mA_{m×n}=A_{m×n},A_{m×n}E_n=A_{m×n}$,可简记为EA=AE=A.

方阵的幂的运算规律 :

  1. $A^kA^1 = A^{k+1}$
  2. $(A^k)^l = A^{kl}$

特别注意: 矩阵乘法不满足交换律。

矩阵转置

定义6 将m×n矩阵A的行换成同序数的列得到的一个n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记作$A^T$.

矩阵转置的运算规律:

  1. $(A^T)^T = A$
  2. $(A+B)^T = A^T + B^T$
  3. $(λA)^T = λA^T$
  4. $(AB)^T = B^TA^T$

定义7 设A为n阶方阵,如果满足$A^T$=A,则称对称阵,特点是它的元素以主对角线为对称轴,对应相等。

反对称阵: $A^T = -A$

方阵的行列式

由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式,记作|A|或detA.

注意:方阵与行列式是两个不同的概念,n阶方阵是n2个数按一定方式排成的数表,而n阶行列式则是n2个数按一定的运算法则所确定的一个数.

方阵行列式的运算规律:

  1. $|A^T| = |A|$$
  2. $|λA| = λ^n|A| $
  3. |AB| = |A||B|

对于n阶方阵A,B,一般来说AB≠BA,但总有|AB|=|BA|=|A|·|B|.

逆矩阵

设A为n阶方阵,若存在n阶矩阵B,使得:

AB = BA = E

则称方阵A是可逆的,并称B是A的逆矩阵 记作 $A^{-1} = B$,逆矩阵一定是方阵。

定理1 : 若矩阵A可逆,则其逆矩阵唯一

定理2: 设$A^*$ 为A的伴随矩阵,就是每个元素都是对应的代数余子式。则有:

$$AA^*=A^*A=|A|E$$

定理3 : n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A| != 0 且有:

$ A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$

方阵的逆矩阵的性质:

  1. 若A可逆,则$(A^{-1})^{-1} = A$
  2. 若A可逆,数λ不为0, 则λA可逆,且$(λA)^{-1} = \frac{1}{λ}A^{-1}$
  3. 若AB为同阶方阵,且A、B都可逆,则AB可逆,且 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
  4. 若A可逆,则$A^T$可逆,且$ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
  5. 若A可逆,则$ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = |A|^{-1} $

矩阵的分块