第三章 矩阵的初等变换和线性方程组

文章目录
  1. 1. 矩阵初等变换
  2. 2. 初等矩阵
  3. 3. 矩阵的秩
    1. 3.1. 矩阵秩的定义
    2. 3.2. 矩阵秩与矩阵的初等变换
    3. 3.3. 矩阵的秩的性质
  4. 4. 线性方程组的解

学习线性代数的第三章。

矩阵初等变换

定义1 下面3种变换称为矩阵的初等行变换:

  1. 对调矩阵的两行(对调i,j两行,记作ri↔rj);
  2. 将某一行所有元素乘以数k≠0(第i行乘k,记作ri×k);
  3. 把某一行所有元素的k倍加到另一行对应元素上去(第j行的k倍加到第i行上,记作ri+krj).

矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换.

这里,矩阵B1与B2都称为行阶梯形矩阵,其特点是:可画一条一行为一个台阶的阶梯线,线的下方元素全为0,台阶数就是非零行的行数,阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元.

行阶梯形矩阵B2还称为行最简形矩阵,其特点是:每个非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其他元素都为0.

标准形,其特点是:左上角是一个单位矩阵,其余元素全为

任何矩阵A都有唯一的标准形.等价矩阵有相同的标准形.即有相同标准形的矩阵是等价的.因此所有与A等价的矩阵组成一个集合,称为一个等价类,标准形F是这个等价类中形式最简单的矩阵.

初等矩阵

定义2 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.

定理1 设A是一个m×n矩阵,则对A施行一次初等行变换,相当于用相应的m阶初等矩阵左乘A;对A施行一次初等列变换,相当于用相应的n阶初等矩阵右乘A.

定理2 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,…,Ps,使A=P1P2…Ps.

推论4 对于n阶矩阵A与n×s矩阵B,若,则A可逆,且X=A1B.特别地,对于n个未知数n个方程的线性方程组Ax=b,若增广矩阵,则A可逆,且x=A1b为方程组的唯一解.

矩阵的秩

矩阵秩的定义

定义4 设在m×n矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所有的r+1阶子式(如果存在的话)全等于0,则D称为矩阵A的最高阶非零子式.数r称为矩阵A的秩,记作R(A)=r.我们规定零矩阵的秩为0.

注意:

  1. 由行列式的展开法则可知,在A中,当所有r+l阶子式全等于0时,所有高于r+l阶的子式也全等于0,因此把r阶非零子式称为A的最高阶非零子式,而A的秩R(A)就是A中不等于0的子式的最高阶数.
  2. 若矩阵A中存在某个s阶子式不等于0,则R(A)≥s;若所有t阶子式全为0,则R(A)<t.
  3. 对任意m×n矩阵A,有O≤R(A)≤min{m,n}.
  4. 对任意m×n矩阵A,有R(A)=$R(A^T)$.
  5. 对n阶方阵A,若|A|≠0,则R(A)=n,此时方阵A可逆,所以可逆矩阵又称满秩矩阵;若|A|=0,则R(A)<n,此时方阵A不可逆,因此不可逆矩阵又称降秩矩阵(或奇异矩阵).

矩阵秩与矩阵的初等变换

定理3 若A~B,则R(A)=R(B).

由定理3可知,要求矩阵的秩,只要把矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵,则行阶梯形矩阵中,非零行的行数即为该矩阵的秩.

矩阵的秩的性质

  1. 性质1 0≤R(Am×n)≤min{m,n},且R(A)=0的充分必要条件是A=O.
  2. 性质2 R(A)=R($A^T$).
  3. 性质3 R(A)=R(kA)(k≠0).
  4. 性质4 若A~B,则R(A)=R(B).
  5. 性质5 若P,Q可逆,则R(PAQ)=R(A).
  6. 性质6 max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B),特别地,当B=b为列向量时,有R(A)≤R(A,b)≤R(A)+1.
  7. 性质7 R(A±B)≤R(A)+R(B)
  8. 性质8 R(AB)≤min{R(A),R(B)}.
  9. 性质9 若$A_{m×n}B_{n×l}=O$,则R(A)+R(B)≤n.

线性方程组的解

消元法就是增广矩阵 变换的过程。

定理4 n元非齐次线性方程组Ax=b,

  1. 无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b);
  2. 有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n;
  3. 有无穷多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n.

由定理4,可知解线性方程组Ax=b时,只需对增广矩阵B=(A,b)施行初等行变换化为行阶梯形矩阵,判别线性方程组是否有解;在有解时,继续对增广矩阵施行初等行变换化为行最简形矩阵,而后求出线性方程组的解.

定理5 矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B).

齐次线性方程组有非零解的充分必要条件:

定理7 n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩R(A)<n;而只有零解得充分必要条件是R(A)=n.

推论1 若齐次线性方程组Ax=0中方程的个数小于未知数的个数,则它必有非零解.

推论2 n个方程n个未知数的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数行列式|A|=0;而它只有零解的充分必要条件是系数行列式|A|≠0.定理7还可以推广到矩阵方程情形中.

定理8 矩阵方程$A_{m×n}X_{n×l}=O_{m×l}$只有零解的充分必要条件是R(A)=n.