第四章 向量组的线性相关性

文章目录
  1. 1. 向量组及其线性组合
  2. 2. 向量组的线性相关性
  3. 3. 向量组的秩
  4. 4. 线性方程组的解结构
    1. 4.1. 齐次线性方程组的解结构
    2. 4.2. 非齐次线性方程组的解结构
  5. 5. 向量空间

本章讨论向量组的线性相关性,引入最大无关组和向量组的秩的概念。

向量组及其线性组合

定义2 设有向量组$A:a_1,a_2,…,a_m$及任意给定的m个实数$k_1,k_2,…,k_m$,表达式:

$$k_1a_1+k_2a_2+…+k_ma_m$$

称为向量组A的一个线性组合,$k_1,k_2,…,k_m$,称为这个线性组合的系数.

若向量b等于向量组A的某一线性组合,即存在数$λ_1,λ_2,…,λ_m$,使$$b=λ_1a_1+λ_2a_2+…+λ_ma_m$$,则称向量b可由向量组A线性表示.

定理1 向量b可由向量组A:a1,a2,…,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于矩阵B=(a1,a2,…,am,b)的秩.

定义3 若向量组B:b1,b2,…,bl的每个向量都可由向量组A:a1,a2,…,am线性表示,则称向量组B可由向量组A线性表示;若向量组A与向量组B可相互线性表示,则称向量组A与B等价.

定理2 向量组$B:b_1,b_2,…,b_l$可由向量组$A:a_1,a_2,…a_m$线性表示的充分必要条件是矩阵A=$(a_1,a_2,…,a_m)$的秩等于矩阵$(A,B)=(a_1,…,a_m,b_1,…b_l)$的秩,即$$R(A)=R(A,B)$$

推论 向量组$A:a_1,a_2,…,a_m$与向量组$B:b_1,b_2,…,b_l$等价的充分必要条件是$$R(A)=R(B)=R(A,B)$$,其中,A和B分别是向量组A和向量组B构成的矩阵.

定理3 设$A=(a_1,a_2,…,a_m),B=(b_1,b_2,…,b_l),$若向量组$B:b_1,b_2,…,b_l$可由向量组$A:a_1,a_2,….a_m$线性表示,则$$R(B)≤R(A)$$.

向量组的线性相关性

定义4 给定向量组$A:a_1,a_2,…,a_m$,若存在不全为零的一组数$k_1,k_2,…,k_m$,使$$k_1a_1+k_2a_2+…+k_ma_m=0$$,则称向量组A是线性相关的,否则称向量组A线性无关.根据相关性的定义,易得如下结论:

  1. 对于只有一个向量a的向量组,当a=0时线性相关,当a≠0时线性无关:
  2. 含两个向量a1,a2的向量组线性相关a1,a2的分量对应成比例;
  3. 含有零向量的向量组一定线性相关.

向量组线性相关概念也可移用于线性方程组,当方程组中某个方程是其余方程的线性组合时,这个方程就是多余的,这时称方程组是线性相关的;当方程组中没有多余方程时,就称方程组是线性无关的.设$A=(a_1,a_2,…,a_m)$,则向量组$A:a_1,a_2,…,a_m$线性相关,就是齐次线性方程组

$$x_1a_1+x_2a_2+…+x_ma_m=0$$,即Ax=0有非零解.由第3章定理7,可得

定理4 向量组$A:a_1,a_2,…,a_m$线性相关的充分必要条件是矩阵$A=(a_1,a_2,…,a_m)$的秩R(A)<m;线性无关的充分必要条件是R(A)=m(m为向量组A中向量的个数).

推论 m个n维列向量构成的向量组$A:a_1,a_2,….a_m$,当m>n时,一定线性相关.

定理5 

  1. 向量组$A:a_1,a_2.…,a_m(m≥2)$线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m1个向量线性表示.
  2. 若向量组$A:a_1.a_2,…,a_m$线性相关,则向量组$B:a_1,a_2,…,a_m,a_{m+1}$也线性相关;反之,若向量组$B:a_1,a_2,…,a_m,a_{m+1}$,线性无关,则向量组$A:a_1,a_2,…,a_m$也线性无关.
  3. 设向量组$A:a_1,a_2,…a_m$线性无关,而向量组$B:a_1,a_2,…,a_m,b$线性相关,则向量b必能由向量组A线性表示,且表示唯一

向量组的秩

定义5 给定向量组A,若在A中能选出一个含r个向量的部分组$A0:a_1,a_2,…,a_r$,满足:

  1. 向量组A0线性无关;
  2. 向量组A中任意r+l个向量(如果A中有r+l个向量的话)都线性相关,则称向量组A0为向量组A的一个最大线性无关组,简称为最大无关组.最大无关组A0中所含向量个数:称为向量组A的秩.向量组$A:a_1,a_2,…,a_m$的秩,记作RA或$R(a_1,a_2,…,a_m)$

只含有零向量的向量组没有最大无关组,规定它的秩为0.

由定义可知:

  1. 若向量组A线性无关,则A的最大无关组就是A本身,它的秩就等于它所含向量的个数;
  2. 向量组A线性相关的充分必要条件是向量组A的秩小于所含向量的个数;
  3. 向量组A与它的最大无关组A0等价.因为A0是A的一个部分组,故A0总能由A线性表示;在A中任取一向量a,则有$a_1,a_2,…,a_r$,a这r+1个向量线性相关,而a1.a2,…,ar,线性无关,由4.2节定理5可知a能由$a_1,a_2,…,a_r$线性表示,即A能由A0线性表示.

定理6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩.

线性方程组的解结构

齐次线性方程组的解结构

性质1 若x=ξ1,x=ξ2为Ax=0的解,则x=ξ1+ξ2也是Ax=0的解.

性质2 若X=ξ1,为Ax=0的解,k为实数,则x=kξ1,也是Ax=0的解.

定义6 若向量$ξ_1,ξ_2,…,ξ_t$为齐次线性方程组Ax=0的解向量,且满足:

  1. $ξ_1,ξ_2.…,ξ_t$线性无关;
  2. Ax=0的所有解均可由$ξ_1,ξ_2,…,ξ_t$线性表示,则称$ξ_1,ξ_2,…,ξ_t$为方程组Ax=0的一个基础解系,

称$$x=k_1ξ_1+k_2ξ_2+…+k_tξ_t,$$(其中k1,k2,…,kt为任意实数)为方程组Ax=0的通解.若把方程组Ax=0的所有解组成一个向量组S,则基础解系$ξ_1,ξ_2,…,ξ_t$为向量组S的一个最大无关组.

定理7 设A为m×n矩阵,若R(A)=r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩$R_S=n-r$.

非齐次线性方程组的解结构

性质3 若x=η1,x=η2为Ax=b的解,则x=η1η2为对应齐次线性方程组Ax=0的解.

性质4 设x=η是方程Ax=b的解,x=ξ是方程Ax=0的解,则x=ξ+η仍是方程Ax=b的解.

由性质3可知,若求得方程Ax=b的一个特解$η^{*}$,则方程Ax=b的任一解都可表示为$$x=ξ+η*.(其中ξ为方程Ax=0的解)$$若方程Ax=0的通解为
$$x=k_1ξ_1+k_2ξ_2+…+k_{n-r}ξ_{n-r}$$,则方程Ax=b的任一解都可表示为

$$x=k_1ξ_1+k_2ξ_2+…+k_{n-r}ξ_{n-r}+η^*$$.由性质4可知,方程Ax=b的通解为
$$x=k_1ξ_1+k_2ξ_2+…+k_{n-r}ξ_{n-r}+η^*$$,其中,$k_1,k_2,…,k_{n-r}$为任意实数,$ξ_1,ξ_2,…,ξ_{n-r}$是方程Ax=0的基础解系.

向量空间

定义7 设V是非空的n维向量的集合,若集合V对向量的加法及向量的数乘这两种运算封闭,则称集合V是一个向量空间.