第一章 函数与极限

文章目录
  1. 1. 第二节 数列的极限
  2. 2. 第三节 函数的极限
  3. 3. 第四节 无穷小和无穷大
  4. 4. 第五节极限运算法则
  5. 5. 第六节 极限存在准则、两个重要极限
  6. 6. 第七节:无穷小的比较
  7. 7. 第八节 函数的连续性和间断性
  8. 8. 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
  9. 9. 第十节 闭区间上连续函数的性质
  10. 10. 有用的公式

本文记录《函数与极限》章节中,比较重要的内容,以便以后复习。

第二节 数列的极限

定义: 设{$x_n$}为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数$\epsilon$ (不论它多么小),总存在正整数N,使得,当n>N时,不等式
$$|x_n-a|<\epsilon$$
都成立,那么就称常数a是数列{$x_n$}的极限,或者称数列{$x_n$}收敛于a,记为:
$$\lim \limits_{n \to \infty} {x_n} = a$$

如果不存在这样的常数a,就说数列没有极限,或者说数列是发散的。

等式中的绝对值表达了两数之差,说明$x_n$无限趋近a含义,也就是两项非常的接近。

收敛数列的性质

定理一(极限的唯一性) 如果数列{$x_n$}收敛,那么他的极限唯一

定理二(收敛数列的有界性)如果数列{$x_n$}收敛,那么数列{$x_n$}一定有界。

定理三(收敛数列的保号性)如果$\lim \limits_{n \to \infty} {x_n} = a$,且a>0,那么存在正整数N,当n>N时,都有$x_n$>0

定理四(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列{$x_n$}收敛于a,那么他的任一子数列也收敛,且极限也是a。

第三节 函数的极限

讨论函数极限时,自变量变化的情形有两种情况:

  1. 自变量x任意的接近于有限值$x_0$ ,$x \to x_0$
  2. 自变量x的绝对值无限大,$x \to \infty$

函数极限定义1 设函数f(x)在点$x_0$的去心领域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数$\epsilon$(不论多么小),总存在正数$\delta$,使得当x满足不等式0<|x-$x_0$|<$\delta$时,对应的函数值f(x)都满足不等式
$$|f(x)-A|<\epsilon$$
那么常数A就叫做函数f(x)当x->$x_0$时的极限记作:
$$\lim_{x->x_0}f(x)=A$$

函数极限的定义就是规定了定义域,得出值域的满足的条件 。

函数极限的性质:

  1. 极限的唯一性
  2. 局部有界性
  3. 局部保号性
  4. 函数极限和数列极限的关系(函数有极限,数列也有极限)

第四节 无穷小和无穷大

定义: 极限为零,那么称函数为当x->$x_0$时的无穷小

下面的定理说明无穷小与函数极限的关系:

定理1 : 在自变量的同一变化过程$x->x_0$中,函数f(x)具有极限的充分必要条件是f(x) = A + $\alpha$,其中 $\alpha$是无穷小。

下面是无穷大和无穷小的关系:

定理2: 在自变量的同一变化过程中,如果f(x)为无穷大,那么$\frac{1}{f(x)}$为无穷小,如果f(x)为无穷小,且f(x)!=0 .那么$\frac{1}{f(x)}$为无穷大。

  1. 充分性:由条件推断出命题成立。
  2. 必要性: 由命题成立推断出条件的成立。

第五节极限运算法则

定理1 两个无穷小的和是无穷小

定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小

推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小

推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小

定理3 当$x \to x_0 (或 x \to \infty)$ 如果limf(x)=A,limg(x)=B,那么

  1. lim[f(x)+g(x)]=limf(x)+limg(x)=A+B
  2. lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB
  3. lim$\frac{f(x)}{g(x)}$=$\frac{limf(x)}{limg(x)}=\frac{A}{B}$,其中B不等于0

定理4 数列和函数有类似定理3的性质

定理5 $\upsilon(x)>=\psi$(x),而lim$\upsilon(x)$=A,lim$\psi(x)$=B,那么A>=B

注意: 求极限时,如果分母为0,需要化为不为0

定理6 复合函数的极限运算法则,设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成,f[g(x)]在点$x_0$的某个去心领域内有定义,$\lim \limits_{x \to x_0}{g(x)}=u_0$ , $\lim \limits_{u \to u_0} {f(u)}=A$,且存在$\delta_0>0$,当x属于($x_0,\delta_0$)时,有g(x)!=$u_0$,则
$$\lim \limits_{x \to x_0} {f[g(x)]} = \lim \limits_{u \to u_0} {f(u)}=A $$

第六节 极限存在准则、两个重要极限

准则1 ,如果数列{$x_n$}、{$y_n$}、{$z_n$}满足下面条件:

$$y_n<=x_n<=$z_n$$

且$\lim_ \limits{n->\infty}y_n=a,\lim_ \limits{n->\infty}z_n=a$

那么数列{$x_n$}的极限存在,且$\lim \limits_{n->\infty}x_n=a$

这个准则称为夹逼准则

使用夹逼准则计算第一个重要的极限: $\lim_{x \to 0}{\frac{\sin x}{x} }=1$

准则2 单调有界必有极限。

一对重要的极限公式:$$\lim \limits_{n->\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$$

$$\lim \limits_{n->\infty}(1-\frac{1}{n})^n= \frac{1}{e}$$

柯西极限存在准则 数列{$x_n$} 收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数$\epsilon$,存在正整数N,使得m>N, n>N时,有:

$$|x_n-x_m|<\epsilon$$

上面公式说明两项的差趋于无穷小。

第七节:无穷小的比较

上面的章节说明两个无穷小的和、差、商仍旧是无穷小,但是两个无穷小的商,确出现不同的结果。

无穷小定义: 如果函数f(x)当$x \to x_0 (或 x \to \infty)$时极限为零,那么称函数f(x)为当$x \to x_0 (或 x \to \infty)$时的无穷小。

定理1 在自变量的同一变化过程$x \to x_0 (或 x \to \infty)$中,函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+a,其中a是无穷小。

定义(更小的阶数更高) :

  1. 如果$lim \frac{\beta}{\alpha}$ = 0,那么就说$\beta$是比$\alpha$高阶的无穷小,记作$\beta$=o($\alpha$)
  2. 如果$lim \frac{\beta}{\alpha}$ = $\infty$,那么就说$\beta$是比$\alpha$低阶的无穷小
  3. 如果$lim \frac{\beta}{\alpha}$ = c,那么就说$\beta$,$\alpha$同阶的无穷小
  4. 如果$lim \frac{\beta}{\alpha^k}$ =c,那么就说$\beta$是$\alpha$的k阶的无穷小
  5. 如果$lim \frac{\beta}{\alpha}$ = 1,那么就说$\beta$、$\alpha$时等阶无穷小 记作$\alpha \sim \beta$

第八节 函数的连续性和间断性

定义: 设函数y=f(x)在点$x_0$的某一领域内有定义,如果:

$$\lim \limits_{\bigtriangleup x \to 0}\bigtriangleup y = \lim_{\Delta x \to 0}{[f(x_{x0})]}0$$

那么就称函数y=f(x)在点$x_0$连续。

下面是连续性定义中增量的示意图:
增量示意图

连续性的也可以描述为:

设函数y=f(x)在点$x_0$的某一领域内有定义,如果
$$lim_{x \to x_0} {f(x)} = f(x_0)$$
那么就称函数f(x)在点$x_0$连续。

函数的间断点:

设函数f(x)在点$x_0$的某个去心领域内有定义,在此前提下,如果函数f(x)有下列三种情形之一:

  1. 在$x=x_0$没有定义
  2. 虽在$x=x_0$有定义,但$\lim_{x \to x_0}{f(x)}$不存在
  3. 虽在$x=x_0$有定义,且$\lim_{x \to x_0}{f(x)}$存在,但是不等于$f(x_0)$

那么函数f(x)在点$x_0$w为不连续,且点$x_0$称为函数f(x)的不连续点间断点

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

一. 连续函数的和、差、积、商的连续性

连续函数的和、差、积、商的连续性 连续函数的和、差、积、商(分母不为0)是连续的

二 反函数和复合函数的连续性

定理二 如果函数f(x) 是单调增加且连续,那么反函数也单调增加且连续

定理三 复合函数的两个函数连续,复合后也连续。

三 初等函数的连续性

定理四 所有初等函数都是连续的。

一组重要的公式

  • $\lim_{x \to 0}{\frac{\log_\alpha{(1+x)} }{x{ { = \lim_{x \to 0}{\log_{\alpha}{(1+x)}^{\frac{1}{x} }} = \log_{\alpha}e = \frac{1}{\ln{\alpha} }$
  • $\lim_{x \to 0}{\frac{\alpha^x - 1}{x} }$

    令 $\alpha^x - 1 = t$,则 $x=\log_{\alpha}{(1+t)}$,当x $\to$0, t $\to$0, 于是:

    $\lim_{x \to 0}{\frac{\alpha^x - 1}{x} }$ = $\lim_{t \to 0}{\frac{t}{\log_{\alpha}{(1+t)} }} = \log_{\alpha}{e} = \frac{1}{\ln{\alpha} }$

  • $\lim_{x \to 0}{\frac{(1+x)^{\alpha}-1}{x} } = \alpha$

第十节 闭区间上连续函数的性质

定理1 有界性与最大值最小值定理,在闭区间上连续的函数在该区间上有界,且一定能取得他的最大值和最小值。

零点定理: 设函数f(x)在闭区间【a,b】上连续,且f(a)与f(b)异号,则在开区间(a,b)内至少有一点$\epsilon$, 使 $$f(\epsilon) = 0$$

定理2(介值定理) 设函数f(x)在闭区间【a,b】上连续,且在这区间的端点取不同的函数值,$$f(a)=A,f(b)=B$$
则对于A于B之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点$\epsilon$,使得

$$f(\epsilon) = C $$

有用的公式

  1. $x^2-9=(x+3)(x-3)$
  2. $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{2^{n-1} }=\frac{1-\frac{1}{2^n} }{1-\frac{1}{2} }$
  3. 二项式定理 $(x+y)^n = \binom {n}{0}x^ny^0 + \binom {n}{1}x^{n-1}y^1 +\binom {n}{2}x^{n-2}y^2 + …+ \binom {n}{n-1}x^1y^{n-1} + \binom {n}{n}x^0y^n$,其中$\binom {n}{k}$为二项系数,等于$\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
  4. $\lim \limits_{n->\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e=2.718281$ (二项式展开可证明)
  5. $\lim \limits_{x \to \infty}(1-\frac{1}{x})^x = \frac{1}{e}$
  6. $\lim_{x \to 0} {\frac{\log_a(1+x)}{x} }=\frac{1}{\ln a}$ (将 $\frac{1}{x}提到指数位置,$利用公式4、换底公式 可以证明)
  7. $\lim \limits_{x \to 0}{\frac{a^x -1}{x} } = \ln a$ (替换 $a^x -1 =t $,利用公式5可证明)
  8. $\lim \limits_{x \to 0}{\frac{(1+x)^a -1 }{x} } = a$
  9. $\ln{(1+x)} \sim x (x \to 0)$(等价无穷小)
  10. $e^x-1 \sim x (x \to 0)$(等价无穷小)
  11. $(1+x)^a-1 \sim ax (x \to 0)$ (等价无穷小)