定积分

文章目录
  1. 1. 定积分的概念和性质
  2. 2. 第二节 微分基本公式
  3. 3. 第三节 定积分的换元法和分部积分法
  4. 4. 有用的公式

记录定积分的学习记录,方便以后复习

定积分的概念和性质

一、 定积分问题举例

  1. 曲边梯形的面积 $A=\lim \limits_{\lambda \to 0} {\sum_{i=1}^n{f(\xi) \Delta x}}$

  2. 变速直线运动的路程 $s = \lim_{\lambda \to 0}{\sum_{i = 1}^{n}{\nu}({\tau}_i)} \Delta t_i$

相同点: 特定和的极限

定义: 设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干个分点

$$a=x_0 < x_1<x_2…<x_{n-1}<x_n = b$$

把区间[a,b]分成n个小区间
$$[x_0,x_1],[x_1,x_2],…,[x_{n-1}]$$
各个小区间的长度依次为
$$\Delta x_1 = x_1-x_0,\Delta x_2 = x_2-x_1 … \Delta x_n = x_n - x_{n-1}$$
在每个小区间上任意去一点$\xi$,作为函数值$f(\xi)$与小区间长度$\Delta x_i$的乘积 $f(\xi_i) \cdot \Delta x_i$,并作出和
$$S = \sum_{i=1}^n{f(\xi_i) \cdot \Delta x_i}$$
如果和的极限存在,且闭区间[a,b]的分法及点$\xi_i$的取法无关,那么这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作$\int_a^b{f(x)dx}$,即
$$\int_a^b{f(x)dx} = I = \lim_{\lambda \to 0}{\sum_{i=1}^n{f(\xi_i) \Delta x_i}}$$
其中[a,b]叫做积分区间。a叫做积分下限,b叫做积分上限

定积分的值只与被积函数和积分区间有关,而与积分变量和记法无关。

那么,对于定积分,函数$f(x)$在[a,b]上满足怎样的条件,f(x)一定可积呢?下面两个定理回答这个问题。

定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积
定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积

利用积分的性质,解决开篇的两个问题 :

  1. $A = \int^b_a{f(x)dx}$
  2. $s = \int^{T_2}_{T_1}{\nu}(t)dt$

三、 定积分的近似计算

  1. 矩形法
  2. 抛物线法

四、 定积分的性质

性质1: 设$\alpha$与$\beta$为常数,则:

$$\int^b_a{[{\alpha}f(x)+{\beta}g(x)]dx} = {\alpha} \int^b_a{f(x)dx}+{\beta}\int^b_a{g(x)dx}$$

性质2(积分区间可加性):设a<c<b,则
$$\int^b_a{f(x)dx} = \int^c_a{f(x)dx} + \int^b_c{f(x)dx}$$

性质三: 如果在区间[a,b]上f(x)=1,那么
$$\int^b_a 1dx = \int^b_a dx = b-a$$

性质四 如果在区间[a,b]上f(x)$\ge 0$,那么

$$\int^b_a{f(x)dx} \ge 0$$

性质五 如果M及m分别是函数f(x)在区间【a,b】上的最大值及最小值,则
$$ m(b-a) \le \int^b_a{f(x)dx} \le M(b-a)$$

积分就是宽、高的和

性质六(定积分中值定理) 如果函数f(x)在积分区间[a,b]上连续,那么在[a,b]上至少存在一点$\xi$,使下式成立:
$$\int^b_a{f(x)dx} = f(\xi)(b-a)$$

第二节 微分基本公式

一、 变速直线运动中,位置函数与速度函数之间的联系

位置函数与速度函数有如下关系:

$$\int^{T_2}_{T_1}{\nu}(t)dt = s(T_2) - s(T_1) \text{,位置函数是速度函数的原函数,定积分是原函数的增量}$$

二、积分上限的函数及其导数

定理一 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,那么积分上限函数:
$$ \Phi (x) = \int^x_a{f(t)}dt$$
在[a,b]上可导,并且它的导数:

$$ {\Phi}’ (x) = \frac{d}{dx} \int^x_a{f(t)}dt = f(x)$$

这个定理指出了一个重要结论: 连续函数f(x)取边上限x的定积分,然后求导,其结果还原为f(x)本身。所以${\Phi} (x)$是连续函数 f(x)的一个原函数。

定理二 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,那么函数

$$\Phi (x) = \int^x_a{f(t)}dt$$
就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

这个定理的意义:定积分和原函数的联系,因此我们就有可能通过原函数计算定积分。

三、 牛顿-莱布尼茨公式

这个定理的意义: 给出了用原函数计算定积分的公式。

定理三:微积分基本定理:如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,那么
$$\int_a^b{f(x)dx}=F(b)-F(a)$$

这个函数进一步揭秘了原函数和不定积分之间的关系。

第三节 定积分的换元法和分部积分法

定积分的分部积分法:

$$\int^b_a{\mu}d{\nu}= [{\mu}{\nu}]^b_a - \int^b_a{\nu} \mu d \mu$$

有用的公式

  1. $1^2+2^2+..+n^2= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$