第二章导数与微分

文章目录
  1. 1. 第一节、导数的概念
    1. 1.1. 导数的引例
  2. 2. 第二节、函数的求导法则
  3. 3. 第二节求导法则总结
  4. 4. 第三节、高阶导数
  5. 5. 第五节、函数的微分
  6. 6. 微分公式总结

记录导数与微分的主要知识点

第一节、导数的概念

导数的引例

  • 速度问题
    $$\nu = \lim_{t \to t_0}\frac{f(t) - f(t_0)}{t-t_0}$$

    这时就把极限值$\nu$称为质点在时刻$t_0$的瞬时速度

  • 切线问题
    $$k = \lim_{t \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}$$

    那么k就是切线的斜率 。下面是切线的示意图:

    切线示意图

定义: 设函数y=f(x)在点$x_0$的某个领域内有定义,当自变量x在$x_0$处取得增量$\Delta x$(点$x_0 + \Delta x$ 仍在该领域内)时,相应的,因变量取得增量$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$;如果 $\Delta y$ 与 $\Delta x$之比(当 $\Delta x \to 0$ 时)的极限存在,那么称函数 y= f(x)在点$x_0$处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点$x_0$处的导数,即为f’($x_0$) ,即

$$f’(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x} } = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}, 也可以记作 y’, \frac{dy}{dx} 或\frac{df(x)}{dx}$$

也可以写作 :

$$f’(x_0) = \lim_{h \to 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} }$$

$$f’(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)- f(x_0)}{x-x_0}$$

导数的意义: 导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述。因变量增量自变量增量之比$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 是因变量y再以$x_0$和$x_0+\Delta x$为端点的区间上的平均变化率,而导数$f’(x_0)$则是因变量y在点$x_0$处的变化率。他反应了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。

下面是求导的示例:

  • 常数的导数: $C’ = 0$ , 常数的导数为0

  • 幂函数的导数
    $
    (x^n)’=
    \begin{cases}
    0, & \text{n=1} \\
    n x^{n-1}, & n>1
    \end{cases}
    $

  • sinx的导数 $(\sin x)’=\cos x$、 $(\cos x)’ = - \sin x$

  • 指数函数的导数: $(a^x)’ = \lim_{h \to 0} {\frac{ {\alpha}^{x+h} - {\alpha}^x}{h} } = {\alpha}^x \lim_{h \to 0} \frac{ {\alpha}^h - 1}{h} = a^{x} \ln{a} $

  • 对数函数的导数:$(\log_ x)’ = \frac{1}{x \ln a}$
    $\begin{equation} \begin{split}
    f’(x)&=\lim_{h \to 0} \frac{\log_{\alpha}{(x+h)} - \log_{\alpha}{x} }{h}\\
    &=\lim_{h \to 0}{\frac{1}{h} } \log_{\alpha}{\frac{x+h}{x} } = \lim_{h \to 0}{\frac{1}{x} } \cdot \frac{x}{h} \log_{\alpha}{(1+\frac{h}{x})}\\
    &=\frac{1}{x} \lim_{h \to 0}{\frac{\log_{\alpha}{(1+\frac{h}{x})} }{\frac{h}{x} } }\\
    &=\frac{1}{x \cdot \ln{\alpha} }
    \end{split}\end{equation}$

导数的几何意义:函数y=f(x)在$x_0$处的导数表示曲线y=f(x)在点M处的切线的斜率。

  1. 切线方程: $y-y_0 = f’(x_0)(x-x_0)$
  2. 法线方程: $y-y_0 = - \frac{1}{f’(x_0)}(x-x_0)$

切线示意图

函数的可导性和可连续性的关系:

  1. 如果y=f(x)在点x处可导,那么函数在该点x处必连续。 $\frac{\Delta y}{\Delta y} = f’(x)+\alpha \Rightarrow \Delta y = f’(x) \Delta x +\alpha \Delta x$
  2. 连续不一定可导

第二节、函数的求导法则

一、 函数的和、差、积、商的求导法则

定理1 如果函数$\mu$=$\mu(x)$及$\nu(x)$=$\nu(x)$都在点x具有导数,那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数,且

  1. [ $\mu(x)$ + $\nu(x)]’ = \mu(x)’ + \nu(x)’ $
  2. $[\mu(x)\nu(x)]’ = \mu(x)’\nu(x) + \mu(x)\nu(x)’$
  3. $[\frac{\mu(x)}{\nu(x)}]’ = \frac{\mu(x)’\nu(x)- \mu(x)\nu(x)’}{\nu^2(x)}$ 其中$\nu(x)$!=0

定理2(反函数求导法则):如果函数x=f(y)在区间$I_y$内单调、可导且f’(y) $\ne$ 0,那么他的反函数y=$f^{-1}(x)$在区间$I_x$内也可导,且:
$$[f^{-1}(x)]’ = \frac{1}{f’(y)}或 \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy} }$$

简单的说:反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

示例:

设x = sin y 为直接函数,则 y = arcsin x 是它的反函数。计算过程如下:

$
\begin{equation}\begin{split}
(arcsin x)’& =\frac{1}{(sin y)’} = \frac{1}{cos y}\\
&又:cos y = \sqrt {1- sin^2y} = \sqrt{1-x^2}\\
&所以:(arcsin x)’ = \frac{1}{\sqrt{1- x^2} }\\
\end{split}\end{equation}
$

定理3(复合函数求导法则)如果u=g(x)在点x可导,而y=f(u)在点u=g(x)可导,那么符合函数y=f[g(x)]在点x可导,且其导数为:
$$\frac{dy}{dx}=f’(u) \cdot g’(x) 或 \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

第二节求导法则总结

一、 导数公式和基本求导法则

常用导数公式 常用导数公式
(1). $(C)’ = 0 $ (2). $(x^{\mu})’ = {\mu}x^{\mu -1} \text {幂函数}$
(3). $(\sin x)’ = \cos x $ (4). $(\cos x)’ = - \sin x $
(5). $(\tan x)’ = \sec^{2} x $ (6). $(\cot x)’ = - \csc^{2} x $
(7). $(\sec x)’ = \sec{x} \tan{x} $ (8). $(\csc x)’ = - \csc{x} \cot{x} $
(9). $({\alpha}^x)’ = {\alpha}^x \ln{\alpha} $ (10). $({e}^x)’ = e^x $
(11). $(\log_{\alpha}{x})’ = \frac{1}{x \ln{\alpha} } $ (12). $(\ln{x})’ = \frac{1}{x } $
(13). $(\arcsin x)’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2} } $ (14). $(\arccos x)’ = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2} } $
(15). $(\arctan x)’ = \frac{1}{1 + x^2} $ (16). $(arccot x)’ = - \frac{1}{1 + x^2} $

二、 函数的和、差、积、商的求导法则

设$\mu = \mu (x)$,$\nu = \nu (x)$ 都可导,则

函数的和、差、积、商的求导法则 函数的和、差、积、商的求导法则
(1). $ (\mu + \nu)’ = {\mu}’ + {\nu}’ $ (2). $ (C \mu)’ = C{\mu}’ $
(3). $ (\mu \nu)’ = {\mu}’ \nu + \mu {\nu}’ $ (4). $ (\frac{\mu}{\nu})’ = \frac{ {\mu}’ \nu + \mu {\nu}’} { {\nu}^2} $

三、 反函数求导法则

如果函数x=f(y)在区间$I_y$内单调、可导且f’(y) $\ne$ 0,那么他的反函数y=$f^{-1}(x)$在区间$I_x$内也可导,且:
$$[f^{-1}(x)]’ = \frac{1}{f’(y)}或 \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy} }$$

四、 复合函数求导法则

如果u=g(x)在点x可导,而y=f(u)在点u=g(x)可导,那么符合函数y=f[g(x)]在点x可导,且其导数为:
$$\frac{dy}{dx}=f’(u) \cdot g’(x) 或 \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

第三节、高阶导数

没有学习

第五节、函数的微分

定义: 设函数 y= f(x)在某区间内有定义,$x_0$及$x_0 + \Delta x$在这区间内,如果函数的增量:

$$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$$

可表示为:

$$\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)$$

其中A是不依赖于$\Delta x$的常数,那么称函数 y = f(x)在点 $x_0$处是可微的,而$A \Delta x$叫做函数 y = f(x)在点$x_0$相应于自变量增量$\Delta x$的微分,记作 dy 即

$$dy = A \Delta x$$

$$dy = f’(x_)) \Delta x$$

微分的理解:相对于自变量的增量,因变量的变化,这个变化时微小的,理解为微分。

微分和$\Delta y$的关系:
$$ \Delta y = dy + o(dy) $$

微分可以近视代替因变量的增量 。微分是 $\Delta y$的主部。

通常把自变量x的增量$\Delta x$称为自变量微分(微小的数),记作dx,于是函数y=f(x)的微分又可记作
$$dy = f’(x)dx$$

微分的几何意义: dy 是曲线的切线上点的众坐标的相应增量。非线性函数的局部线性化。

微分的几何意义

从图中可以看出,dy = QP。当$\Delta y$是曲线y = f(x) 上的点的众坐标的增量, dy是曲线的切线上点的众坐标的相应的增量。当$\Delta x$很小时,$\Delta y - dy$比 $\Delta x$小的多,因此在点M的邻近,我们可以使用切线段来近视代替曲线段。 这就是非线性函数的局部线性化

微分公式总结

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