第四章 不定积分

文章目录
  1. 1. 第一节 不定积分的概念和性质
  2. 2. 第二节 换元积分法
  3. 3. 第三节 分部积分法

记录导数与微分的主要知识点,

第一节 不定积分的概念和性质

一、 原函数和不定积分的概念

定义1:如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任意x属于I都有:
$$F’(x)=f(x) 或dF(x)=f(x)dx$$
那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的一个原函数

什么样的函数才存在原函数?

原函数存在定理:如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一x属于I,都有:

$$F’(x)=f(x)$$

简单的说,连续函数一定有原函数。

一个函数的原函数有怎样的特点呢:

  1. 如果函数$f(x)$有一个原函数,那么$f(x)$有无限多个原函数
  2. 无限多个原函数相差一个常数,表达式 $F(x) + C $可以表示f(x)的任意一个原函数。

所以,使用下面的定义表示无限多个原函数:

定义2 在区间I上,函数$f(x)$的带有任意常数项的原函数称为$f(x)$(或$f(x)dx$)在区间I上的不定积分,记作:
$$\int{f(x)dx}$$
其中记号$\int$称为积分号,$f(x)$称为被积函数,$f(x)dx$
称为被积表达式,x称为积分变量。

结论:因而不定积分$\int{f(x)dx}$可以表达$f(x)$的任意一个原函数

函数f(x)的原函数的图形称为函数f(x)的积分曲线。

微分和积分的关系

由于$\int {f(x)dx}$ 是$f(x)$的原函数,所以:

$$\frac{d}{dx} \left[\int{f(x) dx} \right] = f(x)$$

又由于$F(x)$是$F’(x)$的原函数所以 : $$\int F’(x)dx = F(x) + C$$

或者记作:

$$\int dF(x) = F(x) + C$$

由此可见,微分运算(以符号d表示)与不定积分运算(以记号$\int$表示)是互逆的,当$\int$和d连在一起的时候,或者可以抵消,或者抵消后差一个常数。

基本积分表

  1. $\int k dx = kx +C$
  2. $\int x^{\mu} dx= \frac{x^{\mu + 1}}{\mu + 1} + C \text (\mu \ne -1) $
  3. $\int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C$
  4. $\int \cos x dx = \sin x +C $
  5. $\int \sin x dx$ = - cos x +C
  6. $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C$
  7. $\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \int \sec^2 dx= \tan x + C $
  8. $ \int \frac{dx}{\sin^2 x} = \int \csc^2 x dx = -\cot x + C$
  9. $\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C$
  10. $\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$
  11. $\int \csc x \cot x dx = -\csc x +C$
  12. $\int e^x dx = e^x + C$
  13. $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$

不定积分的性质

性质1(不定积分加法性质) 设函数f(x)及 g(x)的原函数存在,则

$$\int{[f(x)+g(x)]dx} = \int{f(x)dx} + \int{g(x)dx}$$

性质2(不定积分系数性质) 设函数f(x)的原函数存在,k为非零常数,则

$$\int{kf(x)dx}=k\int{f(x)dx}$$

第二节 换元积分法

把复合函数的微分法反过来,用于求不定积分,利用中间变量的代换,得到复合函数的积分,称为积分换元法

一、 第一类换元法

定理1 设f(u)具有原函数,u=$\psi$(x)可导,则有换元公式
$$\int{f[\psi (x)]\psi ‘(x)dx} = [\int{f(u)du}]_{u=\psi (x)}$$

如果应用换元法求不定积分呢?设要求$\int{g(x)dx}$,如果g(x)可以化为g(x)= $f[\psi (x)]\psi ‘(x)$的形式,那么
$$\int {g(x)dx}= \int{f[\psi (x)]\psi ‘(x)dx}=\int{f(u)du}$$

其中$\psi ‘(x)dx 转化为du$ 是将自变量微分形式 转化为整个因变量的微分形式。这需要理解。

这样,就将函数$g(x)$的积分转化为函数$f(u)$的积分,如果能求出$f(u)$的原函数,那么就得到了$g(x)$的原函数。

具体求解的步骤

  1. 选取$u = \psi (x)$
  2. 转化为这个$\int{f[\psi (x)]\psi ‘(x)dx} = \int{f(u)du}$ 的形式
  3. 计算$f(u)$的积分
  4. 使用$u = \psi (x)$ 积分中的$u$替换为$x$。

示例: 计算$\int 2 \cos 2x dx$

  1. 选取$u = 2x$
  2. 转化形式:$\int 2 \cos 2x dx = \int \cos 2x \cdot (2x)’ dx = \int \cos u du $
  3. 计算积分: $\int 2 \cos 2x dx = \sin u + C$
  4. 将$u$代换为$x$: $\int 2 \cos 2x dx = \sin 2x + C$

二、 第二类换元法

适当的选择变量代换,$x=\psi (t)$,将积分$\int f(x)dx$化为积分$\int f[\psi (t)] {\psi}’(t) dt $,这是另一种形式的变量代换,还原公式可以表达为 :

$$\int f(x)dx = \int f[\psi (t)] {\psi}’(t) dt$$

定理2 设$x=\psi (t)$是单调的可导函数,并且${\psi}’(t) \ne 0$ 又设$f[{\psi}(t)]{\psi}’(t)$具有原函数,则有还原公式 :

$$\int{f(x)dx} = \left [{\int{f[{\psi(t)}]{\psi}’(t)dt}}\right ]_{t={\psi}^{-1}{(x)}}$$

第三节 分部积分法

积分换元法基于的原理是复合函数求导法则, 现在我们利用两个函数乘积的求导法则,来推得另一个求积分的基本方法–分部积分法。

设$\mu = {\mu}(x)$及$\nu={\nu}(x)$具有连续的导函数,则两个函数乘积的导数公式为:
$$({\mu}{\nu})’ = {\mu}’{\nu}+{\mu}{\nu}’$$,
移项,得:
$${\mu}’{\nu} = ({\mu}{\nu})’ - {\mu}{\nu}’$$
两边求不定积分,得
$$\int {\mu}’{\nu}dx = ({\mu}{\nu}) - \int {\mu}{\nu}’dx$$

这个公式称为分部积分公式。如果求$\int {\mu}’{\nu}dx$有困难,而求$ \int {\mu}{\nu}’dx$比较容易时,分部积分公式就可以发挥作用了。